1. Leyes de los exponentes(Explicación)

1.0 Ley de exponentes

¿Qué son los exponentes?

Los exponentes son una forma de expresar la multiplicación de una expresión por sí misma un número determinado de veces

Definición: an=a∙a∙a∙∙∙a (a multiplicado n veces)

La letra a es conocida como la base, el número que usted va a multiplicar, y a la letra n se le llama potencia o exponente, el cual indica la cantidad de veces que va a multiplicar a. an se lee “a elevada a la n”.

Veamos algunos ejemplos:

23=2∙2∙2                         (base: 2   exponente: 3)

57=5∙5∙5∙5∙5∙5∙5            (base: 5   exponente: 7)

y6=y∙y∙y∙y∙y∙y               (base: y   exponente: 6)

1.2 Ley #1: am∙an=am+n

Cuando se multiplican dos factores con las bases iguales, su producto será esa base elevada a la suma de las potencias.Explicación: Al hallar el producto de exponentes con bases iguales, estamos contando la cantidad de bases que tenemos para multiplicar. Las potencias nos indican la cantidad de bases que tenemos de cada exponente.Ilustración #1: 64 ∙6

Sabemos que 64=6∙6∙6∙6
y que 6=64 (recuerden que la potencia uno es invisible).
Entonces 64 ∙6=(6∙6∙6∙6)(6)=(6∙6∙6∙6∙6)=65
Por tanto, 64 ∙6=64+1=65

Ilustración #2: a3 ∙a5

Sabemos que a3=a∙a∙a
y que a5=a∙a∙a∙a∙a.
Entonces a3∙a5=(a∙a∙a)(a∙a∙a∙a∙a)=(a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)=a8
Por tanto, a3 ∙a5=a3+5=a8

Ejemplo: Halle el valor de c6 ∙c7

Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes:

c6 ∙c7=c6+7=c13

1.3 Ley #2: (a∙b)n=an∙bn

La ley #2 se utiliza cuando tenemos dos factores cualquiera elevados por el mismo exponente.Explicación: El producto de los dos factores elevados por un exponente se puede comportar como un exponente de base única, pero si expandemos la multiplicación y utilizamos la propiedad conmutativa para reorganizar cada uno de los factores, separándolos en una multiplicación de dos exponentes de bases diferentes pero con misma potencia.Ilustración #1: (4∙5)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(4∙5)3=(4∙5)∙(4∙5)∙(4∙5)

Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes:

=(4∙4∙4)∙(5∙5∙5)

Finalmente, por la definición de exponente:

=43∙53

Ilustración #2: (c∙d)4

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(c∙d)4=(c∙d)∙(c∙d)∙(c∙d)∙(c∙d)

Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes:

=(c∙c∙c∙c)∙(d∙d∙d∙d)

Finalmente, por la definición de exponente:

=c4∙d4=c4d4

Ejemplo: Halla el valor de (2a)5.

Solución: Por la Ley #2:

(2a)5=(2∙a)5=25∙a5=32a5

1..4 Ley #3: (ab)n=anbn

Cuando un cociente (o una fracción) es elevado completamente por un exponente, es favorable usar la Ley #3 para hallar su valor.Explicación: El cociente, al igual que los dos factores, se comporta como un exponente de base única. Si expandemos la multiplicación y utilizamos las reglas para multiplicar fracciones, vemos que, aunque tengan bases diferentes, al final tienen la misma potencia.Ilustración #1: (75)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

(75)3=(75)∙(75)∙(75)

Ahora, usando la regla de multiplicacioacute; de fracciones, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=7∙7∙75∙5∙5

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=7353

Ilustración #2: (pq)5

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

(pq)5=(pq)∙(pq)∙(pq)∙(pq)∙(pq)

Ahora, usando la regla de multiplicacioacute; de fracciones, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=p∙p∙p∙p∙pq∙q∙q∙q∙q

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=p5q5

Ejemplo: Halle el valor de (3xy)4. 

Solución: Por la Ley #3: 

(3xy)4=(3∙xy)4=34∙x4y4=81x4y4 

1.5 Ley #4: (an)m=an∙m

La cuarta ley de los exponentes es necesaria cuando tenemos un exponente dentro de otro exponente.Explicación: La base a es multiplicada un número determinado de veces, n. Luego, toda esa multiplicación expandida es multiplicada otro número determinado de veces, m. En otras palabras: al expandirse, an contiene n cantidad de a, pero al estas ser elevadas a la m, tendremos a multiplicada por sí misma mn veces.Ilustración #1: (32)5

Expandemos 32:

(32)5=(3∙3)5

Entonces, expandemos (3∙3)5

(3∙3)5=(3∙3)∙(3∙3)∙(3∙3)∙(3∙3)∙(3∙3)
=3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3

Aplicando la definición de exponente:

=310

Ilustración #2: (d4)2

Expandemos d4:

(d4)2=(d∙d∙d∙d)2

Entonces, expandemos (d∙d∙d∙d)2

(d∙d∙d∙d)2=(d∙d∙d∙d)∙(d∙d∙d∙d)
=d∙d∙d∙d∙d∙d∙d∙d

Aplicando la definición de exponente:

=d8

Ejemplo: Halle el valor de (5g4)3.

Solución: Por la Ley #4:

(5g4)3=53∙(g4)3=125∙g4∙3=125g12

1.6 Ley #5: aman=am-n, a≠0

La Ley #5 se aplica solamente cuando estamos hallando el cociente de dos exponentes con bases iguales.Explicación: Mientras hallamos el cociente, estamos contando cuántas bases tiene, tanto en el numerador como en el denominador. De ahí, eliminamos la cantidad mínima de bases de ambas expresiones, en otras palabras, simplificamos eliminando la potencia menor de la mayor.Ilustración #1: 3632

Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:

3632=3∙3∙3∙3∙3∙33∙3

Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.

3∙3∙3∙3∙3∙33∙3=3∙3∙3∙31=3∙3∙3∙3

Finalmente, por la definición de exponente:

3∙3∙3∙3=34

Ilustración #2: r9r8

Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:

r9r8=r∙r∙r∙r∙r∙r∙r∙r∙rr∙r∙r∙r∙r∙r∙r∙r

Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.

r∙r∙r∙r∙r∙r∙r∙r∙rr∙r∙r∙r∙r∙r∙r∙r=r1=r

Ejemplo: Halle el valor de 8c154c3

Solución: Primero simplificamos los enteros. Por la propiedad multiplicativa de los números racionales:

8c154c3=84∙c15c3=2∙c15c3

Finalmente, por la Ley #5, hallamos el cociente de los exponentes:

2∙c15c3=2∙c15-3=2c12 

1.7 Ley #6: a0=1, a≠0

Toda expresión elevada a cero es igual a uno excepto el cero.Explicación: a0 es el resultado de una diferencia de potencias iguales, del cual sabemos por la Ley #5, sale del cociente de dos exponentes. Como el denominador de cualquier fracción no puede ser cero. 00 no es igual a uno.Ilustración: 

Por la Ley #5, podemos darle un valor a cero y revertirlo a un cociente, digamos 2-2:

a0=a2-2=a2a2

Por definición de exponente:

a2a2=a∙aa∙a

Ahora, simplificamos, eliminando bases semejantes hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1:

a∙aa∙a=11=1

Por tanto, a0=1

1.8 Ley #7: a-n=1an, a≠0

Toda expresión elevada a un número negativo es equivalente a su recíproco pero con el exponente siendo positivo.Explicación: a-n es el resultado de una diferencia de potencias diferentes, del cual sabemos por la Ley #5, sale del cociente de dos exponentes. Como el denominador de cualquier fracción no puede ser cero. En este caso, el denominador tenía un exponente mayor. 00 no es igual a uno.Ilustración: a-3 

Por la Ley #5 podemos darle un valor equivalente a -3 para revertirlo a un cociente, digamos 2-5:

a-3=a2-5=a2a5

Por definición de exponente:

a2a5=a∙aa∙a∙a∙a∙a

Ahora, simplificamos, eliminando bases semejantes hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1:

a∙aa∙a∙a∙a∙a=1a∙a∙a

Finalmente, por definición de exponente:

1a∙a∙a=a-3